Kamis, 09 Juni 2011

GERAK TRANSLASI, ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR


Gerak Translasi, Rotasi, dan Kesetimbangan Benda Tegar
Kompetensi Dasar
  •  
3.1. Menguasai konsep gerak translasi dan rotasi
3.2. Menghitung gerak translasi dan rotasi
3.3. Menguasai konsep keseimbangan benda tegar
3.4. Menghitung keseimbangan benda tegar
  • Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, diharapkan Anda dapat:
·          
    • Menjelaskan pengertian momen gaya.
    • Menghitung momen gaya dari gaya-gaya yang bekerja pada suatu benda tegar.
    • Menjelaskan pengertian momen inersia.
    • Menjelaskan pengertian momentum sudut.
    • Mengaplikasikan hukum kekekalan momentum sudut pada sistem yang berotasi.
    • Mengaplikasikan hukum II Newton untuk gerak translasi dan rotasi benda tegar.
    • Menggunakan syarat keseimbangan statis sistem partikel untuk menyelesaikan soal-soal.
    • Menggunakan syarat keseimbangan statis sistem benda tegar untuk menyelesaikan soal-soal.
    • Menghitung gaya reaksi pada batang yang ditumpu.
    • Menentukan koordinat titik berat suatu benda.
  1.  
    1. Gerak Translasi dan Rotasi
Indikator :
  • Gerak translasi dan gerak rotasi dirumuskan secara kuantitatif
  • Pengaruh torsi diformulasikan pada kasus pengaruh torsi pada benda dalam kaitannya dengan gerak rotasi benda tersebut
  • Dibuat analogi hukum II Newton tentang gerak translasi dan gerak rotasi
Pernahkah Anda melihat permainan roller coaster di pekan raya? Kereta meluncur dan berputar menurut sumbu putaran tertentu. Pernahkah Anda melihat katrol? Sebuah alat yang dapat berputar dan memberikan keuntungan mekanik. Benda yang berotasi pasti ada momen gaya yang bekerja pada benda itu.
Gambar:
Katrol
A. Momen Gaya
Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban.
Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang t (baca: tau).
Gambar:
Menarik beban menggunakan katrol
t = F . d
Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.
Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.
Gambar:
Skema permainan jungkat jungkit
Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan.
Momen gaya oleh F1 adalah t1 = + F1 . d1
Momen gaya oleh F2 adalah t2 = – F2 . d2
Pada sistem keseimbangan rotasi benda berlaku resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:
t = 0
Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol.
t = 0
- F2 . d2 + F1 . d1 = 0
F1 . d1 = F2 . d2
Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:
∑ F = 0
Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbol besarannya.
Perbandingan dinamika translasi dan rotasi
Translasi
Rotasi
Momentum linier
p = mv
Momentum sudut*
L = Iw
Gaya
F = dp/dt
Torsi
t = dL/dt
Benda massa
Konstan
F = m(dv/dt)
Benda momen
inersia konstan*
t = I (dw/dt)
Gaya tegak lurus
terhadap momentum
F = w x p
Torsi tegak lurus
momentum sudut
t = W ´ L
Energi kinetik
Ek = ½ mv2
Energi kinetik
Ek = ½ Iw2
Daya
P = F . v
Daya
P = t . w
Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi
Konsep
Translasi
Rotasi
Catatan
Perubahan sudut
s
q
s = r.q
Kecepatan
v = ds/dt
w = dq/dt
v = r.w
Percepatan
a = dv/dt
a = dw/dt
a = r.a
Gaya resultan, momen
F
t
t = F.r
Keseimbangan
F = 0
t = 0

Percepatan konstan
v = v0 + at
w = w0 + at

s = v0t = ½ at2
q = w0t + ½at2

v2 = + 2as
w2 = + 2qa

Massa, momen kelembaman
m
I
I = åmiri2
Hukum kedua Newton
F = ma
t = Ia

Usaha
W = ò F ds
W = ò t dq

Daya
P = F.v
P = I w

Energi potensial
Ep = mgy


Energi kinetik
Ek = ½ mv2
Ek = ½ Iw2

Impuls
ò F dt
t ò dt

Momentum
P = mv
L = Iw

Contoh
F2
30o
O A
B 37o
F1
Dari gambar di atas, tentukan momen total terhadap poros O. Jarak
OA = 4m dan OB = 8 m, gaya F1 = 10 N, dan F2 = 6 N.
Jawab
Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol,
Untuk gaya F1
r1 = OB = 8 m
Besar momen gaya t1 = F1 sin a1. r1
= 10 . sin 37°. 8
= 10 . 0,6 . 8
= 48 N.m
Arah momen gaya t1 searah perputaran jarum jam
Untuk gaya F2
r2 = OA = 4 m
Besar momen gaya t2 = F2 sin a2. r2
= 6 . sin 30°. 4
= 6 . 0,5 . 4
= 12 N.m
Arah momen gaya t2 berlawanan arah perputaran jarum jam
Momen gaya total adalah
t = t2 + t2
= 48 + 12
= 60 Nm
Momen Kopel
Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel yang bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel yang mengakibatkan benda berotasi. Momen kopel disimbolkan M
F F F -
+
M F d
d d d
F F F
(a) (b) (c)
Gambar (a) menunjukkan sebuah kopel bekerja pada suatu benda. Untuk
gambar (b) menunjukkan bahwa kopel bertanda positif jika putarannya searah
dengan perputaran jarum jam, tetapi jika perputaran kopel berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka kopel bertanda negatif seperti gambar (c).
Jika pada benda bekerja beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda tersebut adalah
M = M1 + M2 + M3 + … + Mn
Contoh
F4
F1
P 1m 2m 1m
Q
F3
F2
Jawab:
Batang PQ panjangnya 4m. Pada batang tersebut bekerja empat buah gaya F1 = F3 = 5 N, dan F2 = F4 = 8 N, seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel pada batang PQ tersebut.
Gaya F1 dan F3 yang berjarak d = 3m membentuk kopel yang arahnya searah perputaran jarum jam (+) dan besarnya:
M 1 = F x d = 5 x 3 = 15 N m
Gaya F2 dan F4 yang berjarak d = 3 m membentuk kopel yang arahnya berlawanan arah perputaran jarum jam (-) dan besarnya:
M 2 = F x d = 8 x 3 = - 24 N m
Resultan momen kopel adalah:
M = M1 + M2
= 15 + ( - 24)
= - 9 N m
Tanda negatif (-), menunjukkan bahwa momen kopel resultan
arahnya berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.
Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan
Jika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas komponen-komponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan, komponen-komponen gaya pada sumbu-X adalah F1x, F2x, F3x,…,Fnx, yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-X adalah y1, y2, y3,…,yn .
Sedangkan komponen-komponen gaya pada sumbu-Y adalah F1 y , F 2y , F 3y , …,Fny , yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-Y adalah x1, x2, x3,…,xn . Semua komponen gaya pada sumbu-X dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F x yang jaraknya yo dari sumbu-X, demikian juga semua komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F y yang jaraknya xo dari sumbu-Y.
Koordinat titik tangkap dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.
xo = =
yo = =
Jadi koornitat titik tangkap (xo,yo)
Contoh
Y
F2=5N
F3=7N
X
Dari gambar di samping, tentukan besar, arah, dan letak titik tangkap resultan.
-3 -1 0 2 3
F1=-3N
F4=-2N
Jawab
Semua gaya sejajar sumbu-Y, gaya ke atas positif dan ke bawah negatif, resultan gaya adalah:
Fy = F1 + F2 + F3 + F4
= -3 + 5 + 7 – 2 = 7 N (arah ke atas)
Letak titik tangkap gaya resultan adalah:
xo =
xo =
xo =
  1. Momen Inersia Benda Tegar
Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut a yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi t didefinisikan sebagai berikut.
”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut”.
Dirumuskan sebagai berikut.
 =t S Fi Ri Sin qi atau t = ( S mi R2 i ) . a
mSi Ri2 disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu.
Dirumuskan:
I = S mi . Ri2
Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap percepatan sudut.
Dirumuskan:
I =
maka t = I . a
t = I
Karena t = SF . R dan t = I . a
maka S F . R = I . a
Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda.
a = a . R
a =
persamaan menjadi :
S F . R = I .
Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen.
Tabel berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen.
Momen inersia berbagai benda yang umum dikenal
I = ½ M (R12 + R22) I = 1/3 MR2 I = MR2 I = 2/5 MR2 I = 2/3 MR2
Contoh:
  1. Empat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah batang kaku ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem partikel terhadap proses:
  1.  
    1. sumbu AA1,
    2. s
A B
1 kg 2 kg 1 kg 3 kg
2 m 2 m 2 m
A1 B1
umbu BB1!
Penyelesaian:
  1. I = Σ mi . Ri2
= m1 R12 + m2 . R22 + m3 R32 + m4 R42
= 1 . 02 + 2 . 22 + 1 . 42 + 3 . 62
= 0 + 8 + 16 + 108
I = 132 kg m2
  1. I = Σ mi Ri2
= m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42
= 1 . 42 + 2 . 22 + 1 . 02 + 3 . 22
= 16 + 8 + 0 + 12
I = 36 kg m2
  1. Empat buah partikel massanya 1kg, 2 kg, 2 kg, 3 kg seperti ditunjukkan pada gambar, dihubungkan oleh rangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanya dapat diabaikan.
  1. Tentukan momen inersia sistem terhadap poros melalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada bidang kertas!
A
A’
  1. Berapa besar momen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu percepatan µ terhadap poros ini (µ = 4 )?
  2. Ulangi pertanyaan (a) dan (b) untuk poros AA1!
Penyelesaian:
  1. I = Σ mi Ri2 = m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42
= 3 . 22 + 2 . 22 + 1 . 22 + 2 . 22
= 12 + 8 + 4 + 8
= 32 kg m2
  1. τ = I . µ = 32 . 4 = 128 N.m
  2. I = m2 R12 + m2 R22 + m2 R22 + m3 R32 + m4R42
  1. Sebuah benda sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing- masing 5 kg dihubungkan oleh sebuah batang kaku yang panjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan sebagai partikel dan massa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melalui
  1.  
    1. pusat 0, O
    2. salah satu bola!
L = 1 m
Penyelesaian:
  1. I = Σ mi Ri2
I = mA . RA2 + mB . RB2 + 1/12 m . L2
I = 5 . (0,5)2 + 5 . (0,5)2 + 1/12 . 2 . 12
I = 5 . 0,25 + 5 . 0,25 + 1/6
I = 2,5 + 1/6
I = 5/2 + 1/6 = = 16/6
I = 8/3 kg m2
b. I = Σ mi Ri2
I = mA.RA2 + Mb.RB2 + 1/3 .m.l2
I = 0 + 5 . 12 + 1/3 . 2.12
I = 5 + 2/3
I = 5 kg m2
  • Uji Kompetensi I
  1. Seorang tukang cat (massa 55 kg) mengatur papan homogen yang beratnya
60 N dengan kuda-kuda di B dan C seperti pada gambar. Panjang AD = 4 m,
AB = CD = 1 meter. Jarak kaleng cat (2 kg) dari A = 0,5 m. Secara perlahan
ia mengecat sambil menggeser ke kanan. Pada jarak berapa meter dari C dia
dapat menggeser sebelum papan terjungkit ?
A B C D
  1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :
a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.
b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C
c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.
  1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg q = 3/4.
Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.
  1. Batang AB yang mempunyai panjang 6 m mendapat gaya pada ujung-ujungnya seperti tampak pada gambar. Tentukan besar dan letak gaya resultannya.
  1. Tentukan momen inersia batang yang berputar pada poros berjarak ¼ l dari ujung titik 0
O
-1/4 l +3/4 l
  1. Empat buah benda disusun pada rangka pada sumbu koordinat XY seperti tampak pada gambar di bawah ini. M1=M3 =1kg, M 2 =3 kg, dan M 4 = 2 kg. Tentukan momen inersia sistem jika sumbu putarnya adalah (a) sumbu Y, (b) sumbu yang tegak lurus bidang XY melalui titik O.
Y
M1
2 m

M3
O 3 m M2
3 m
M4
  1. Tentukan momen inersia bola pejal !
  • massa bola m
  • volume bola V = 4/3 p R3
  • massa keping = dm
  • volume keping = dV = pr2 dx
  1. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaya dari gaya F1 = 100 N dan gaya F2 = 200 N terhadap poros di titik A dan titik C, jika AD = L, AB = L/2, dan AC = 3L/4. D
C
B F2
A 30o F1
  1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :
a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.
b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C
c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.
  1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg q = 3/4.
Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.
  1.  
    1. Menghitung Gerak Translasi dan Rotasi
Indikator :
  • Dinamika rotasi benda tegar dianalisis untuk berbagai kondisi
  • Gerak menggelinding tanpa slip dianalisis
C. Momentum Sudut Gerak Rotasi Benda Tegar
Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut w, yang selalu searah sumbu rotasi. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut w. Sehingga dapat dirumuskan :
L = I . w
Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V (memiliki momentum P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor,
L = R ´ P
atau L = R ´ mV
L = mR ´ V
Jadi momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R dan v.
Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak lurus.
V = w R
Sehingga L = m R v
L = m R wR
L = m R2 w
Arah L dam w adalah sama, maka:
L = m R2 w

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar